오랫동안 존재 여부를 몰랐던 하다마르 행렬들을 구성하는 압축 데이터야. 특히 21년간 가장 작은 미해결 사례였던 668차 하다마르 행렬을 해결한 것으로 확인됐다.

하다마르 행렬이란?

모든 원소가 (+1) 또는 (-1)이고, 서로 다른 두 행이 완벽하게 직교하는 정사각행렬이야.

[
HH^{\mathsf T}=nI_n
]

예를 들어 다음은 4차 하다마르 행렬이다.

[
H_4=
\begin{pmatrix}
+&+&+&+\
+&-&+&-\
+&+&-&-\
+&-&-&+
\end{pmatrix}
]

서로 다른 두 행을 곱해서 더하면 항상 0이 된다.

668차 행렬이라면:

• 크기: (668\times668)
• 모든 원소: (\pm1)
• 서로 다른 두 행은 668개 위치 중 정확히 334개에서 같고 334개에서 다름
• 따라서 두 행의 내적이 (334-334=0)

이 조건을 동시에 만족하는 668개의 부호 벡터를 찾는 문제였어.

첨부한 +/- 문자열의 정체

첨부파일에는 정확히 **23,828개의 +와 -**가 들어 있다. 하지만 완성된 (668\times668) 행렬은 446,224개의 원소가 필요하므로, 이 문자열이 행렬 전체는 아니야.

실제로는 다음 구조다.

1. 긴 +/- 문자열은 여러 행렬을 생성하기 위한 압축된 부호 데이터다.
2. Alpöge가 답글로 올린 난독화된 sed 셸 스크립트가 디코더 역할을 한다.
3. 스크립트에는 다섯 종류의 행렬 구성 루틴이 들어 있다.
4. 문자열과 디코더를 결합하면 다음 12개 차수의 하다마르 행렬이 생성된다.

[
668,\ 716,\ 892,\ 1132,\ 1244,\ 1388,\ 1436,\ 1676,\ 1772,\ 1916,\ 1948,\ 1964
]

즉, 기존에 2000 이하에서 미해결이었던 12개 차수를 한꺼번에 모두 메운 것이다.

왜 668이 특별한가?

하다마르 추측은 다음과 같다.

모든 양의 정수 (k)에 대해 (4k)차 하다마르 행렬이 존재한다.

(n>2)인 하다마르 행렬의 차수는 반드시 4의 배수여야 한다는 것은 알려져 있지만, 모든 4의 배수에서 실제로 존재하는지는 1893년부터 미해결이야.

그동안 가장 작은 미해결 차수는 668이었다.

• 이전 최소 미해결 사례였던 268차: 1985년 해결
• 428차: 2005년 해결
• 이후 668차가 약 21년간 막혀 있었음
• 2025년에도 정확한 행렬은 못 찾고, 조건을 모듈러 64에서만 만족하는 근사적 성과가 나온 정도였음. 2025년 논문

그래서 668 하나만 해결해도 정식 연구 결과가 될 만한 문제였는데, 이번에는 2000 이하의 미해결 사례를 전부 처리한 셈이다. Epoch AI의 원래 668 문제

검증은 되었나?

현재까지는 상당히 강하게 검증됐다.

독립 검증자가 문자열과 디코더를 다시 구현해서 생성된 12개 행렬을 정수 연산으로 검사했고, 모두 정확히

[
HH^{\mathsf T}=nI_n
]

을 만족했다고 보고했다. 668차의 경우:

• 대각 원소: 전부 668
• 비대각 원소: 전부 0
• 행렬 원소: 전부 (\pm1)

로 확인됐다. 재현·검증 기록

이런 결과는 장문의 논증보다 검증이 훨씬 간단해. 완성된 행렬만 있으면 컴퓨터로 정확한 정수 곱셈을 해보면 끝이기 때문에, “그럴듯한 AI 환각”이 끼어들 여지가 비교적 적다.

다만 아직 정식 논문과 인간 전문가들의 폭넓은 검토가 나온 단계는 아니다.

어느 정도로 큰 발견인가?

평가를 나누면 이렇다.

• 수학적으로: 분명한 신규 성과지만, 하다마르 추측 전체를 푼 것은 아니다. 유한한 12개 사례를 해결했으며 모든 (4k)에 통하는 일반 증명은 여전히 없다.
• 계산수학적으로: 상당히 인상적이다. 20여 년간 막혀 있던 최소 사례를 포함해 12개를 동시에 해결했다.
• AI 발전의 신호로서: 더 중요할 수 있다. 기존 수학을 설명하거나 증명을 검토한 수준이 아니라, 명확히 검증 가능한 새로운 조합적 객체를 찾아냈기 때문이다.

연구진은 Philippe Voinov, Saul Reynolds-Haertle, Levent Alpöge와 Claude로 표시되어 있다. Alpöge는 농담조로 자신은 “나쁜 제안만 기여했다”고 썼지만, Claude가 정확히 어떤 핵심 아이디어·탐색·코드를 담당했는지는 아직 공개되지 않았다. Epoch AI도 이를 AI가 해결한 문제로 잠정 분류하면서 인간과 AI의 기여도가 더 공개되면 분류를 수정할 수 있다고 명시했다. Epoch AI 변경 기록

결론적으로, 이 문자열은 “의미 없는 AI 언어”가 아니라 검증 가능한 12개의 새로운 하다마르 행렬을 재구성하는 초압축 인증서야. 리만가설을 푼 정도의 이론적 대사건은 아니지만, Claude가 실제 연구수학에서 인간이 수십 년간 찾지 못한 객체를 발굴했다는 점에서는 상당히 강한 가속 신호로 볼 수 있어.