요약하면 GPT-5.6이 ‘큰 소수 간격(large prime gaps)’ 분야에서 약 10년간 최고였던 인간 수학자들의 기록을 점근적으로 개선하는 새 정리를 찾아냈다는 주장이야. 그리고 그 증명이 Lean으로 형식 검증됐다는 보고까지 나오고 있어.

 

소수를 순서대로

 

\[

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots

\]

 

\[

p_{n+1}-p_n

\]

 

이라고 해. 질문은 간단히 말해 “소수 사이에는 얼마나 거대한 빈 공간이 무한히 자주 나타날 수 있는가?”야.

 

기존 최고 기록은 Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao가 얻은 것으로, 대략

 

\[

p_{n+1}-p_n

\gtrsim

\frac{\log n\,\log_2n\,\log_4n}{\log_3n}

\]

 

크기의 간격이 무한히 많이 존재한다는 거였어. 여기서 \(\log_2 n=\log\log n\), \(\log_3n=\log\log\log n\), \(\log_4n=\log\log\log\log n\)이야. 이게 2014년경 preprint로 등장하고 2018년 논문으로 정리된 유명한 결과야.

 

그런데 이번 GPT-5.6의 주장 결과는

 

\[

\boxed{

p_{n+1}-p_n >

C\,\frac{\log n\,\log_2n}{\log_4n}

}

\]

 

을 만족하는 \(n\)이 무한히 많이 존재한다는 거야.

 

둘을 나눠 보면 개선 비율이

 

\[

\frac{

\log n\log_2n/\log_4n

}{

\log n\log_2n\log_4n/\log_3n

}

=

\boxed{\frac{\log_3n}{(\log_4n)^2}}

\]

 

이 돼. 이 값은 \(n\to\infty\)일 때 계속 커지기 때문에 단순히 상수 \(1.1\times\), \(2\times\) 개선이 아니라 점근적 차수 자체를 개선한 것이야. 게시물에서 말하는 “improving ... by factor of \(\log_3X/(\log_4X)^2\)”가 정확히 이 뜻이야.

 

중요한 건 기존 방법이 상당히 한계까지 밀렸다고 여겨졌다는 점이야. Tao도 당시 기존 기법으로는 그 형태가 사실상 한계처럼 보인다고 설명했어. 그래서 이번 증명이 정말 맞고 새 아이디어를 통해 이 장벽을 넘었다면, 그냥 “AI가 알려진 정리를 다시 증명했다” 수준보다 훨씬 강한 사례야.

 

그림 아래쪽은 뭘 하는 건가?

 

핵심 아이디어는 체(sieve)야.

 

예를 들어 연속된 숫자들을 전부 합성수로 만들고 싶다고 해보자. 각 작은 소수 \(p\)마다 특정 나머지

 

\[

a_p \pmod p

\]

 

를 골라서 그 나머지를 갖는 숫자들을 제거해.

 

2로는 절반을 제거하고,

3으로 일부를 제거하고,

5로 또 제거하고…

 

이걸 매우 영리하게 선택하면 굉장히 긴 구간 전체를 작은 소수들의 배수로 덮어버릴 수 있어.

 

스크린샷의

 

> the interval \([x,y]\) can be covered by \(a_p \bmod p\)

 

 

 

가 바로 이 이야기야.

 

그렇게 빈 구간을 만들고 중국인의 나머지 정리 등을 이용해 실제 정수축의 적절한 위치로 옮기면,

 

> “여기부터 여기까지 소수가 하나도 없다”

 

 

 

라는 거대한 prime-free interval을 만들 수 있고, 그 양 끝에서 큰 소수 간격이 생겨.

 

이번 새 아이디어는 소수를 처리할 때 단순히 나머지 클래스를 하나 고정하는 대신 확률적으로 0을 선택하거나 다른 residue를 선택하는 방식을 섞어서 기존 체의 효율 한계를 더 밀어낸 것으로 보이네.

 

 

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그리고 verified in Lean unconditionally가 사실이라면?

 

이 부분이 특히 중요해.

 

unconditionally라는 건 예를 들어 리만 가설(RH) 같은 아직 증명되지 않은 가정을 전제로 한 게 아니라는 뜻이야.

 

그리고 Lean 형식검증이 정말

 

sorry 없음

 

미증명 사용자 정의 axiom 없음

 

필요한 정리들의 dependency까지 실제 증명

 

Lean kernel 통과

 

 

형태라면, “LLM이 그럴듯한 수학 글을 썼다”와는 차원이 달라. 컴퓨터가 논리 단계 하나하나를 검사한 증명이 되는 거니까.

 

실제로 오늘 올라온 다른 보고에서도 이 새 prime-gap bound가 GPT-5.6에 의해 발견됐으며 Alexeev가 Lean으로 formalize했다는 이야기가 나오고 있어.

 

다만 여기서는 한 가지 유보해야 해. 나는 현재 접근 가능한 1차 출처에서 이 정확한 새 정리의 전체 preprint + Lean repository + axiom audit까지 아직 확인하지 못했어. Simo의 표현도 “apparently”, “verified ...?”처럼 아직 소식을 전달하는 단계야. 그래서 지금 상태를 엄밀하게 표현하면:

 

> 기존 기록이 무엇이었는지는 확실하고, GPT-5.6이 이를 점근적으로 크게 개선했다는 매우 흥미로운 신결과가 오늘 보고되고 있으며 Lean 검증됐다는 보고도 있다. 다만 공개된 원 증명·Lean dependency까지 확인한 뒤 ‘완전히 확정’이라고 하는 게 좋다.

 

 

 

그리고 이것이 소수 간격 문제 전체를 해결한 것은 아니야. 흔히 예상되는 진짜 최대 간격 규모는 대략 \((\log n)^2\) 쪽이라, 이번 결과가 맞아도 거기까지는 여전히 상당한 이론적 거리가 있어. Erdős Problems도 기존 기록과 함께 예상되는 진짜 규모가 훨씬 클 것으로 설명하고 있어.

 

그래도 *GPT-5.6이 기존 세계기록을 재현한 게 아니라, Maynard·Tao 등이 만든 분석적 정수론의 최전선 bound를 새로운 아이디어로 넘어섰다”가 확인된다면, 최근 AI 수학 결과 중에서도 상당히 중요한 사례로 볼 만해.